Bernoulli Polynomials

Definition / 定义

Bernoulli polynomials（伯努利多项式）是一族在数学分析与数论中常用的多项式，通常记为 (B_n(x))。它们与伯努利数密切相关，常用于求和公式（如幂和）、欧拉—麦克劳林公式、傅里叶展开与特殊函数理论等。（在不同语境下也会涉及更一般的“伯努利型多项式”。）

Pronunciation / 发音

/ bərˈnuːli ˌpɑːləˈnoʊmiəlz /

Examples / 例句

Bernoulli polynomials appear in the Euler–Maclaurin formula for approximating sums.
伯努利多项式出现在欧拉—麦克劳林公式中，用于近似求和。

Using the generating function, we can derive identities linking Bernoulli polynomials, zeta values, and power sums.
利用生成函数，我们可以推导出将伯努利多项式、黎曼ζ函数的取值与幂和联系起来的恒等式。

Etymology / 词源

“Bernoulli”来自瑞士数学家伯努利家族（Bernoulli family）的姓氏（该家族多位成员对概率论、微积分与数论有重要贡献）。“Polynomial(s)”源自拉丁语传统的数学词汇体系，指“多项式”。“伯努利多项式”这一命名体现了数学中常见的做法：用重要贡献者的姓氏为对象命名。

Related Words / 相关词

• Bernoulli Numbers
• Euler–Maclaurin Formula
• Generating Function
• Zeta Function
• Power Sum
• Fourier Series
• Special Functions

Literary Works / 文学作品

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）中在求和与渐近分析相关章节讨论伯努利数与伯努利多项式的应用。
• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）在特殊函数与相关展开式条目中涉及伯努利数/多项式及其公式。
• Higher Transcendental Functions（Erdélyi et al., Bateman Manuscript Project）在特殊函数与级数展开的背景下出现与伯努利多项式相关的表达与恒等式。